O Toque Fundamental de Pi (da série Cometários)

O Toque Fundamental de π

 

EIS AS NOVAS NOTAS (como curiosidade, três das antigas estavam erradas; provavelmente isso veio das escolhas das frações)

NOTA	NOVA f	: 256	: 0,125 (FICA)	FRAÇÃO	BASE 7 (8-8)
dó	256	1,000	8	8/8 = 1	0
ré	288	1,125	9	9/8	1
mi	320	1,250	10	10/8	2
fá	352	1,375	11	11/8	3
sol	384	1,500	12	12/8	4
lá	416	1,625	13	13/8	5
si	448	1,750	14	14/8	6
Matemática e música  Giuseppe Milone Embora música e ciência sempre tenham tido tudo a ver uma com a outra – o parentesco entre elas não só é conhecido desde a Antiguidade como talvez remonte às suas próprias origens –, os músicos tendem a adotar atitudes pragmáticas quanto à produção do som. Ao contrário do que ocorre com o engenheiro, cujas ligações com a matemática são bem conhecidas e largamente aceitas por todos, o músico frequentemente esquece que física e matemática podem ser muito úteis, fornecendo-lhe modelos funcionais que explicam e permitem explorar melhor os fenômenos costumeiramente vistos como tipicamente sonoros. Em termos matemáticos, por exemplo, enquanto a álgebra e a aritmética definem algumas relações e proporções entre os sons e os meios emissores que os produzem, a geometria permite estabelecer as formas dos instrumentos em função das sonoridades que deles se esperam. As primeiras associações formais da matemática com a música ocorreram na Grécia. Por volta do século VI a.C., a escola místico-matemática de Pitágoras de Samos supõe haver relações inteiras entre harmonia (no sentido filosófico) e relações harmônicas de sons. As pesquisas musicais de Pitágoras basearam-se no monocórdio, uma corda distendida sobre duas pontes, cuja mobilidade permite variar o comprimento da corda e o som que ela emite. Uma de suas primeiras constatações foi que a altura do som emitido por uma corda vibrante é inversamente proporcional a seu comprimento, que aumentar o tamanho da corda torna o som mais grave e encurtá-la, torna-o mais agudo. Logo, para abaixar ou elevar determinado som basta aumentar ou diminuir o comprimento da corda que o emite (isso, é claro, pressupõe cordas de massa uniforme e tensão constante). E a obsessão de Pitágoras pelos inteiros levou-o a fixar-se nos sons emitidos por uma corda e por sua metade: ele concluiu que os sons são quase idênticos, que dividir uma corda ao meio gera “sons harmoniosos”. E ele constata haver outras divisões das cordas que geram outros sons com essa característica. Mais exatamente, os sons produzidos por dois terços e por três quartos das cordas também eram agradáveis ao seu ouvido (em termos modernos, eles equivalem à quinta e à quarta do som fundamental da escala maior; na escala de Dó maior, correspondem às notas Sol e Fá). As experiências de Pitágoras com o monocórdio não só constituem uma das primeiras tentativas de expressar fenômenos da natureza em números, como as relações que ele obtém – relações posteriormente denominadas “consonâncias pitagóricas” – terão grande influência não só em sua escola, mas em toda a teoria da música ocidental. Os novos sons se relacionarem com os primeiros por meio de frações formadas por números naturais sustentava a tese pitagórica de que tudo no Universo pode ser relacionado aos naturais, que nele “tudo é número e harmonia”. E um dado que reforça a crença de que a música (harmoniosa) está em correspondência com a aritmética das frações é a soma da quarta com a quinta ser igual a oitava (na sequência Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si, Dó é fácil constatar que a quarta nota após o Dó é o Fá e que a quinta nota após o Fá é o Dó). Em termos matemáticos, considerando a divisão da corda que dá esses sons, essa relação é expressa por (2/3)(3/4) = 1/2. E as relações entre as frações das cordas revelaram outros vínculos entre matemática e música. Na música, o átomo é o tom; na música ocidental, define-se tom como a diferença entre uma quinta e uma quarta. Se a matemática estiver certa, se a soma da quarta com a quinta equivale ao produto das frações que lhes correspondem, então a diferença entre elas deve ser dada pelo quociente das mesmas frações. Se uma for a inversa da outra, então o tom é dado por (2/3):(3/4) = (2/3)x(4/3) = 8/9. Ou seja, o tom é gerado por uma corda com comprimento igual a 8/9 do comprimento daquela que produz o som fundamental. E se assim for, a mera repetição desse processo retorna toda a gama das notas de uma escala musical. Na terminologia atual, o comprimento da corda ré corresponde a 8/9 da corda afinada em dó e o mi, a (8/9)(8/9) = (8/9)2 = 64/81 dessa mesma corda. O fá, a quarta, é dado por três quartos daquela corda e o sol, a quinta, por dois terços. Em sequência, o lá é dado por (2/3)(8/9) = 16/27 e o si por (2/3)(8/9)2 = 128/243 do mesmo comprimento. O dó uma oitava acima é dado pela metade do comprimento da corda. E se o sistema for de fato coerente, os semitons serão iguais. Os intervalos de meio tom, de mi para fá e de si para dó, serão dados por (1/2)(243/128) = (3/4)(81/64) = 243/256. No sentido inverso, 6/5 da corda que produz o Dó gera o Lá, 3/2, o Fá, 16/15, o Si e 2, isto é, o dobro da corda, um Dó uma oitava abaixo. Segundo os pitagóricos, a quinta, representada pela fração 2/3, é mais harmoniosa que a segunda, representada por 8/9 e ambas bem mais harmoniosas que a sétima, expressa por 128/243. Isso sugere haver relação inversa entre complexidade matemática e agradabilidade musical. A regra geral parece ser que quanto mais simples a fração associada ao intervalo, mais harmônico ele parece; o fato concreto que sustenta essa proposição é que o mais harmônico de todos os intervalos está associado à mais simples das frações: a oitava corresponde à fração 1/2. Em 63 a.C., Dydimos acolhe esse princípio e propõe a gama diatônica, constituída por frações mais simples que as previstas pelos pitagóricos. No século XVIII, Bach defende a gama temperada (escala cromática ou bem-temperada), em que a corda é dividida em doze semitons iguais, em intervalos cujo produto é exatamente igual a 1/2 (nela, o semitom é dado pela raiz duodécima de dois). Para os pitagóricos, a oitava, a quinta e a quarta, representadas pelas frações 1/2, 2/3 e 3/4, eram harmonicamente perfeitas. E essas relações não se restringiam à música; elas se estendiam ao Universo, dividido em três esferas cujos raios se encontravam nessas magníficas proporções. Para eles, as esferas que constituíam o Universo estavam dispostas segundo sua perfeição harmônica, que era: primeira esfera: Terra e pela Lua; segunda esfera: céus móveis e estrelas fixas; terceira esfera: o Olimpo. E tais proporções, difundidas por Platão no Livro X d’A República, foram replicadas na construção de diversos templos e catedrais, entre eles as de Chartres e de Santa Maria Novella, em Florença, e a de Santo Francesco della Vigna, em Veneza. O vínculo entre intervalos musicais e teoria do Universo fez com que os pitagóricos tratassem a música como ramo da matemática (mais exatamente, eles dividiam a matemática em aritmética, geometria, música e astronomia). Algo estritamente matemático que eles atrelaram à música foi a média harmônica. Inicialmente chamada de subcontrária, ela foi rebatizada para harmônica quando constataram que a danada definia as subdivisões harmônicas das cordas distendidas. Em termos modernos, os sons são vinculados às vibrações das partículas de ar que atingem o ouvido de boa parte dos seres vivos. Mas essa ideia também parece remontar aos pitagóricos, a Filolaus ou Arquitas de Tarento (430-360 a.C.), que observaram que o som decorria de pulsos de ar. E a analogia entre propagação do som e ondas produzidas por objetos atirados na água foi antevista pelo estoico grego Crisipo (280-202 a.C.) e defendida pelo arquiteto romano Vitrúvio, isso já no século I d.C. Dela decorre a moderna ondulatória, que prova que as relações estabelecidas pelos pitagóricos valem tanto para os comprimentos das cordas quanto para as razões entre as respectivas frequências por unidade de tempo. Disso se conclui, por exemplo, que se a frequência do Lá central de um piano for de 440 Hz, a frequência do Lá seguinte será de 880 Hz, do próximo, 1760 Hz etc. Isso se ele estiver muito bem afinado, é claro.
[como se pode ver, 1 deveria ser 8/8 e as demais frações 9/8, 10/8 e assim por diante; houve uma distorção, ainda por explicar]

POR OUTRO LADO, PARA TOCAR π (devemos inserir as notas-matemáticas e não as notas musicais tal como são agora) – tirado e modificado de Encontrando as Notas e Tocando π, que por sua vez veio de outros, anteriores e muito anteriores.

3,141592... NOTAS (convertido para a base 7) 3. 0 6 6 3 6 5 1 4 3 2 0 3 6 1 3 4 1 fá dó si si fá si lá ré sol fá mi dó fá si ré fá sol ré AS NOTAS COMPARADAS COM OS NÚMEROS DA BASE 7 0 1 2 3 4 5 6 dó ré mi fá sol lá si

TOCANDO π NA BASE 7 EM FREQUÊNCIAS EM HZ 3. FÁ 352 0 DÓ 256 6 SI 448 6 SI 448 3 FÁ 352 6 SI 448 5 LÁ 352 1 RÉ 288 4 SOL 384 3 FÁ 352 2 MI 320 0 DÓ 256 3 FÁ 352 6 SI 448 1 RÉ 288 3 FÁ 352 4 SOL 384 1 RÉ 288

Há uns 20 anos, estava dormindo na casa do casal nosso amigo PACOS e K quando tive um sonho no qual, insistentemente, diziam: “emita em 3 MHz” (três milhões de Hz). A faixa das FM vai de 88 a 108 MHz, muito acima de 3 MHz. Perguntei ao professor-doutor de física na UFES, agora vice-reitor RC, e ele disse que nessa faixa dos 3 MHz as perdas manteriam o sinal dentro da atmosfera, ele não sairia para entrar em contato com alguma presumida civilização extraterrestre.

Agora penso que a emissão encontrará algum mecanismo à espera DENTRO DO PLANETA e ele reemitirá para o espaço numa frequência bem característica, capaz de vencer longas distâncias (para sair do planeta as FM o fariam, bem como toda emissão acima delas, mas do outro lado o canal receptor não estaria preparado para notar).

Serra, quinta-feira, 18 de agosto de 2011.

José Augusto Gava.